|
|
|
№ 26 (3685), 9 ноября 2004 года
|
 |
|
|
|
|
«Математика
должна прочно стоять на земле
и уходить головой в облака»
Математика – одна из самых древних наук. Ее история насчитывает около трех тысячелетий. И каждый век вносил свой особый вклад в развитие этой науки. Некоторые периоды характеризовались появлением новых разделов и направлений. Другие были связаны с успешным решением ранее сформулированных проблем.
Завершилось ХХ столетие и второе тысячелетие с Рождества Христова. Уже можно с полным основанием подвести итоги ушедшего века и попытаться ответить на вопросы выдающегося математика, сформулированные в эпиграфе. В самом деле, какими свершениями был знаменателен этот век для математики? Какие новые теории за это время возникли и какие известные проблемы были решены? Как видоизменился облик самой математики и претерпел ли он изменения вообще?
|
 |
Автор статьи — Ногин Владимир Дмитриевич, выпускник ЛГУ 1971 г., профессор, доктор физико-математических наук, лауреат премии 1 степени Госкомитета СССР по народному образованию 1988 г. за лучшую научную работу, автор двух монографий и ряда учебных пособий. С 1980 г. работал на кафедре высшей математики политехнического института. В 2002 г. вернулся на факультет ПМ-ПУ. В настоящее время является профессором кафедры теории управления . |
|
Не претендуя на исчерпывающую полноту и абсолютную объективность, постараемся, насколько это окажется возможным в избранной автором доступной форме, кратко ответить на поставленные вопросы.
Забегая вперед, сразу отметим, что прошедший век ознаменован внушительным списком блистательных достижений в математике. Среди них – появление новых важных и интересных направлений и теорий, а также – решение ряда знаменитых проблем, доставшихся в наследство с прошлых времен. Кроме того, в ХХ веке математика прошла ряд нелегких испытаний, сопровождающих ее бурный рост, но благополучно вышла из кризиса с готовностью и впредь оставаться на доброй службе у человечества.
***
В конце XIX века благодаря работам выдающегося немецкого математика Г.Кантора зародилась теория множеств, но только в XX веке она прочно встала на ноги и по праву заняла особое место в математике.
Проблему обеспечения непротиворечивости аксиоматически построенной теории множеств выдвинул и пытался решить выдающийся представитель немецкой математической школы Д.Гильберт. Однако оказалось, что цель, поставленная им, недостижима. Это в 1931 г. было установлено австрийским математиком К.Гёделем. Тем не менее вызвал большой интерес и получил заметное развитие введенный Д.Гильбертом новый раздел математики – метаматематика, часть конструктивной математики.
В математическом мире широко известны 23 проблемы Гильберта, сформулированные им в 1900 г. на математическом конгрессе в Париже. Вокруг этих проблем на протяжении всего ХХ века были сосредоточены творческие усилия многих замечательных математиков различных школ и направлений. Подавляющее большинство из этих проблем (21 из 23) к настоящему времени “закрыты”, то есть получили либо положительное, либо отрицательное решение. В частности, в 1934 г. советский математик А.О.Гельфонд принял участие в решении 7-й проблемы Гильберта, а алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы в 1970 г. установил талантливый представитель ленинградской математической школы Ю.В.Матиясевич.
Подобно тому, как ствол дерева порождает, поддерживает и питает многочисленные плодоносящие ветви, так теория множеств дала жизнь таким фундаментальным дисциплинам, как теория функций вещественной переменной, общая алгебра и современный функциональный анализ.
Рука об руку с теорией множеств развивалась и крепла математическая логика. Первые работы в этой области, принадлежащие британским математикам Дж.Булю и О. де Моргану, появились в середине XIX века, но именно начало XX века и первая его половина характеризуются интенсивным становлением математической логики. Современный вид эта дисциплина приобрела благодаря мощным усилиям уже упоминавшихся Д.Гильберта и К.Гёделя, а также англичанина А.Тьюринга, советского математика П.С.Новикова, американца П.Коэна и др.
|
«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?»
Давид Гильберт (1900 г.) |
|
Идея непрерывности выражает коренное свойство пространства и времени, и потому имеет неоценимое значение для естествознания. Хотя понятия предела и непрерывности восходят к древности, родоначальником раздела математики, посвященного детальному изучению свойства непрерывности и называемого топологией, можно считать блистательного немецкого математика XIX века Г.Римана. Современная общая топология сформировалась в начале двадцатого века под воздействием работ Ф.Хаусдорфа – соотечественника Римана.
Хотя возникновение теоретико-вероятностных представлений восходит к работам швейцарского ученого Я.Бернулли начала XVII века, только в тридцатые годы двадцатого столетия выдающийся советский математик А.Н.Колмогоров заложил прочные аксиоматические основы теории вероятностей, находящей многочисленные и плодотворные приложения. На базе теории вероятностей возникли теория случайных процессов и теория массового обслуживания, окрепла и приобрела современный вид математическая статистика.
***
В эпоху Исаака Ньютона математика во весь голос заявила о себе как о величайшем творении человеческого разума, предназначенном для исследования Природы. Именно так и смотрели на математику все выдающиеся мыслители XVIII-XIX веков. Но в XX веке некоторые крупные математики пришли к выводу, что заниматься решением проблем, так или иначе связанных с реальным миром, совершенно необязательно. По-видимому, широчайший диапазон современных математических и естественнонаучных исследований не позволял математикам одинаково свободно чувствовать себя и в математике, и в естественных науках. В этой ситуации некоторые из них решили ограничить сферу своих интересов рамками так называемой “чистой” математики. По этому поводу признанный специалист по математической физике Дж.Синж в 1944 г. заметил: «Итак, окончен бал. Сколько радости было, пока он длился!.. Природа по-прежнему продолжает подбрасывать глубокие проблемы, но они уже не доходят до математиков. В ожидании противника они сидят в своей башне из слоновой кости, вооруженные до зубов, но противник так и не появляется. Природа не ставит перед математиками четко сформулированных проблем. Добыть ясно поставленную задачу можно лишь вооружившись киркой и лопатой, и тот, кто боится испачкать руки, никогда сколько-нибудь стоящей задачи не найдет».
Известный популяризатор математики М.Клайн один из разделов своей замечательной книги “Математика. Утрата определенности” так и назвал: “Математика в изоляции”. Он пишет: «Талейран заметил однажды, что идеалист не может долго оставаться идеалистом, если он не реалист, и реалист не может долго оставаться реалистом, если он не идеалист. Применительно к математике высказывание Талейрана можно истолковать так, что реальные проблемы необходимо идеализировать и изучать абстрактно, но деятельность идеалиста, игнорирующего реальность, не жизнеспособна. Математика должна прочно стоять на земле и уходить головой в облака. Подлинную, живую, содержательную математику рождает сочетание абстракции и конкретных проблем. Математики могут воспарять в облака абстрактного мышления, но, подобно птицам, за пищей должны возвращаться на землю. Чистую математику можно сравнить с тортом, подаваемым на десерт. Он приятен на вкус и даже способен в какой-то мере насытить нас, но организм не может существовать только на тортах – без “мяса и картошки” реальных проблем, составляющих основу его питания».
Последнее слово в споре между “чистыми” и “нечистыми” математиками принадлежит самой действительности. А она такова, что в XX веке окончательно утвердился термин прикладная математика, в вузах появилась соответствующая специальность, а в последней трети ХХ столетия при крупных университетах были открыты факультеты прикладной математики, которые до сих пор продолжают готовить специалистов, пользующихся спросом в различных областях науки, техники и народного хозяйства. В частности, впервые в СССР такой факультет был создан в Ленинградском университете в
1969 г. под руководством В.И.Зубова – признанного во всем мире специалиста в области теории устойчивости и теории управления.
***
В ХХ веке некоторые известные разделы классической математики приобрели ярко выраженную практическую направленность и были успешно использованы при решении ряда сложных практических проблем. Прежде всего, это относится к теории экстремальных задач (теории оптимизации), берущей свое начало с античных времен. Появился ее новый раздел – математическое программирование, включающий линейное, выпуклое, дискретное, динамическое и стохастическое программирование. Знаменитый симплекс-метод решения канонической задачи линейного программирования способствовал успешному решению важных народно-хозяйственных проблем во многих индустриально развитых странах.
К теории экстремальных задач вплотную примыкает активно развивающаяся в последние десятилетия теория принятия решений, возникновение которой связывают с именами французов Ж.-Ш.Борда и М.Кондорсе, предложивших и исследовавших в XVIII веке определенные способы голосования при приеме в члены Академии наук Франции.
Из недр теории динамических систем, появление которой обязано гению А. Пуанкаре и трудам выдающегося русского математика А.М.Ляпунова, на стыке с теорией экстремальных задач возникла теория (оптимального) управления, разработка и успешное применение которой помогли человечеству вырваться за пределы земного тяготения, благополучно достичь Луны и приступить к непосредственному исследованию других планет Солнечной системы. Важнейшим инструментом решения различных задач оптимального управления по праву считается принцип максимума, сформулированный замечательным советским математиком Л.С.Понтрягиным.
Сравнительно недавно своеобразное продолжение и развитие упомянутая теория экстремальных задач получила в теории особенностей (теории катастроф), связанной с именами американца Х.Уитни, француза Р.Тома и известного отечественного математика В.И.Арнольда.
В дополнение к классическому математическому анализу в XX веке появился выпуклый анализ, основания которого были заложены в начале прошлого века Г.Минковским. А на фундаменте выпуклого анализа недавно вырос самостоятельный, интенсивно развивающийся раздел, именуемый негладким анализом.
Еще один вид анализа – нестандартный анализ, основные идеи которого восходят к немецкому ученому XVII–XVIII веков Г.Лейбницу, в последние десятилетия обрел свое право на существование и привлекает внимание многих математиков, а также преподавателей математики.
С начала XX века, что называется, “носилась в воздухе” идея создания математической теории конфликта (теории игр). Систематическое изложение математической теории игр появилось в сороковые годы и принадлежит оно выдающемуся американскому математику Дж. фон Нейману и экономисту О.Моргенштерну. К настоящему времени теория игр заметно разрослась и представляет собой специальный раздел математики, предметом которого является изучение определенных математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях. Ее результаты находят успешное применение при исследовании различных экономических и социальных явлений общества.
Во второй половине ХХ века американцем Л.Заде была введена в употребление так называемая нечеткая математика, которая при решении определенных практических проблем оказывается более удобной, чем обычная (то есть четкая) математика. Сейчас уже существуют такие понятия, как нечеткая логика, нечеткие производные, нечеткие интегралы и т.п. Некоторыми фирмами производятся компьютеры, работа которых основана на нечеткой логике.
***
Более 350 лет пытливый человеческий ум безуспешно бился над доказательством знаменитой великой теоремы Ферма, утверждающей, что уравнение xn+yn=zn не имеет целых положительных решений x, y, z при n>2 Эта проблема своими корнями уходит во времена Древней Греции (вспомните школьную теорему Пифагора!), и несколько веков она возвышалась подобно неприступному гималайскому пику. У нее длинная (временами – трагическая) история, связанная с именами таких выдающихся математиков, как Л.Эйлер, Г.Ламе, О.Коши, Э.Куммер и других. Известно, что в XIX веке Французская Академия наук объявляла конкурс с внушительным призовым фондом за ее решение. Безуспешно! И только совсем недавно, в последнем десятилетии XX века, завершающими усилиями эмигрировавшего в США англичанина Э.Уайлса при содействии его бывшего студента Р.Тейлора удалось окончательно закрыть ее.
Еще одна знаменитая проблема рухнула под натиском математиков в конце ХХ столетия. Речь идет о проблеме четырех красок, первые сведения о которой относятся к середине XIX века. Постановка этой проблемы доступна школьнику: действительно ли достаточно красок лишь четырех цветов для раскрашивания произвольной карты на плоскости таким образом, чтобы каждая страна была окрашена и при этом никакие две соседние страны не получили один и тот же цвет? Любопытно, что для положительного решения проблемы четырех красок американцами К.Аппелем и В.Хакеном во второй половине семидесятых годов был использован принципиально новый, неизвестный до XX века способ доказательства – машинный, когда компьютер последовательно “просматривает” огромное конечное число различных случаев, выполняя в каждом из них проверку определенных условий.( Следует заметить, что первые попытки использовать компьютер в математических доказательствах относятся к более раннему периоду времени. Так, вскоре после Второй мировой войны группа программистов и математиков с помощью ЭВМ проверили справедливость великой теоремы Ферма для всех показателей n, не превосходящих 500, затем 1000, а позднее – 10000. В 80-е годы XX века указанный предел был поднят до 25000, а в последнее время это число достигло 4 млн.) Первый вариант предложенного “доказательства” потребовал для своей реализации 1200 часов машинного времени, тогда как отдельному человеку на подобный “просмотр вручную” не хватило бы всей его жизни. Позднее за счет использования быстродействующих компьютеров это число часов было существенно сокращено, но до сих пор “ручное” доказательство официально не зарегистрировано.)
***
О компьютере – гениальном изобретении XX века – следует поговорить особо. Невозможно переоценить значение этого творения пытливого человеческого разума. Например, академик Н.Н.Моисеев ставит изобретение компьютера в один ряд с такими судьбоносными достижениями человечества, как покорение огня и изобретение паровой машины. Уже первые скороспелые плоды применения компьютеров в различных областях человеческой деятельности, свидетелями которых мы являемся, не могут не произвести ошеломляющего впечатления на самого закоренелого скептика. От захватывающих детских компьютерных игр до сложнейших роботов и целых заводов, управляемых электронным мозгом. А гигантские базы данных, доступные пользователю практически из любой точки земного шара благодаря всемирной сети Интернет?! Появилось даже специальное словосочетание виртуальная реальность для обозначения неизведанного безграничного пространства, которое компьютер распахнул перед изумленным человеком.
В настоящее время многие ученые, писатели, композиторы, издатели, работники средств массовой информации уже не в состоянии представить свою профессиональную деятельность без компьютера, который стал незаменимым помощником в получении, обработке и хранении информации самого различного характера – от колонок строгих цифр до красочных копий полотен древних и современных мастеров кисти. Лавинообразно растет число фильмов, в которых компьютерная технология буквально “творит чудеса на глазах изумленной публики”.
Несколько слов хочется сказать и о тесной связи компьютера (вычислительной техники) с математикой. С одной стороны, бурное развитие таких математических разделов, как теория алгоритмов, теория автоматов и теория информации предопределили появление того устройства, которое впоследствии стали именовать компьютером. С другой стороны, по мере того, как это замечательное устройство обретало все большую мощь и развивало свои способности, возникали новые сложные математические проблемы. Они, в свою очередь, стимулировали появление и развитие таких новых разделов математики, как теория программирования, а также целой науки информатики, тесно связанной с математикой через понятие математической модели, математическую логику и теорию алгоритмов.
Сначала компьютер “понимал” исключительно язык чисел в специальных кодах (в то время его именовали электронно-вычислительной машиной, т.е. ЭВМ) и использовался он лишь для выполнения численных расчетов. После того, как в восьмидесятые годы компьютер “освоил” символьные вычисления, результатом его применения стал набор произвольных символов, в том числе цифр, функций, а также графических рисунков. Теперь простым нажатием клавиш клавиатуры компьютера с использованием математических пакетов (например, таких, как MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA и др.) можно решить любую стандартную задачу из курса математики технического вуза.
Сейчас уже многие понимают, что возможности использования компьютера не исчерпываются хранением, обработкой информации и решением стандартных математических задач. Активно развивается новая перспективная область, связанная с созданием искусственного интеллекта. И в ней уже сделан первый крупный шаг – созданы роботы с уровнем интеллекта кошки.
Компьютер осваивает все большее количество человеческих функций. Его активно привлекают к различным творческим процессам, которые до недавнего времени считались прерогативой человека. Э.Френкин, специалист в области компьютерных наук (computer science), даже учредил премию имени Лейбница размером в 100 тысяч долларов тому, кто первым разработает компьютерную программу, способную самостоятельно сформулировать и доказать теорему, которая окажет «глубокое влияние на математику».
К сожалению, радикальным интеллектуальным сдвигам, произошедшим в сознании человека за последнее столетие, не отвечает в должной мере его нравственное и культурное развитие. С появлением виртуального пространства у человека был поистине уникальный шанс выступить в роли Творца и, что называется, “с чистого листа” построить в этом пространстве идеальный мир без насилия, лжи и вероломства... Но человечество этим шансом не воспользовалось. Уже в 80-е годы были изобретены и пущены в ход компьютерные вирусы, число которых на данный момент превысило сотню тысяч и которые наносят подчас невосполнимый ущерб как отдельным пользователям компьютеров, так и целым фирмам. Появились электронные взломщики (хакеры), проникающие в секретные базы данных специальных служб и других организаций, опустошающие активы банков, находясь за многие тысячи километров от этих служб и банков. Террористы всех мастей тотчас же приспособили Интернет к своим преступным целям, зомбируя людей, обучая их изготовлению взрывных устройств и оплачивая террористические акты.
Итак, компьютерный джинн выпущен на свободу и его уже не загнать обратно в бутылку. Он продолжает жить по своим законам, принося пользу и одновременно нанося вред... Подобно тому, как во все времена первобытная стихия огня спасала одних и при этом беспощадно уничтожала других, ни в чем не повинных людей.
***
По мере совершенствования вычислительной техники все большее развитие получает математическое моделирование. Находящееся на стыке со многими прикладными науками, это направление стремительно развивается и быстро обогащается новыми методами и подходами к исследованию самых различных явлений реального мира. Можно смело сказать, что в XXI веке его ожидает блестящее будущее! Если в недалеком прошлом математические модели использовались для исследования в основном физико-механических систем, то теперь область их применения существенно расширилась. Объектами математического моделирования стали биологические, экономические, экологические и социальные системы. Появились даже попытки моделировать историю. Компьютер при этом играет немаловажную роль, так как перечисленные системы отличаются необычайно высоким уровнем сложности, и “вручную” производить их качественный и количественный анализ не представляется возможным.
С помощью современных мощных компьютеров осуществляются эксперименты планетарного масштаба: разыгрываются (в виртуальном пространстве) гигантские военные сражения с применением ядерного оружия, строятся прогнозы земного климата, исследуются проблемы демографического развития и научно-технического прогресса.
В частности, в середине 90-х годов Г.Г.Малинецким и его коллегами была предпринята попытка математического моделирования системы высшего образования России. В результате выполненных исследований авторы пришли к следующим выводам:
· Если руководство России считает необходимым сохранить позиции страны как стабильной державы, то должны быть вложены дополнительные средства в высшую школу и науку.
· Для преодоления существующих проблем следует развивать интеллектуальную сферу, используя ее как ресурс развития.
· Существует некий пороговый уровень финансирования интеллектуальной сферы, ниже которого она быстро теряет способность играть роль ресурса развития общества.
Сходную позицию занимал и академик Н.Н.Моисеев: «Сохранение и развитие нашего образования – основная опора в формировании российского будущего».
К сожалению, результаты проведенного исследования, а также конструктивные высказывания многих видных интеллектуалов нашей страны, продиктованные высоким чувством ответственности за судьбу России, болью за ее настоящее унизительное положение среди ведущих мировых держав, остались без внимания на “высшем уровне”, и финансирование образования и науки по-прежнему сохраняется на недопустимо низком уровне.
***
С горечью приходится констатировать, что в последнее время во всем мире заметно снизился интерес к научным исследованиям и науке вообще. Все меньше средств выделяется на нужды фундаментальных наук не только в нашей стране, но и в так называемых индустриально развитых странах. Академик В.И.Арнольд заметил: «Расцвет математики в уходящем столетии сменяется тенденцией подавления науки и научного образования обществом и правительствами большинства стран мира. Ситуация сходна с историей эллинистической культуры, разрушенной римлянами, которых интересовал лишь конечный результат, полезный для военного дела, мореплавания и архитектуры... Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, – первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы».
В такой ситуации некоторые ученые мужи, дрогнув, уже принялись горячо обсуждать конец науки...
Напомню, что о конце науки, так же, как и о конце света, говорят не впервые. Подобные мысли постоянно сопровождали человечество в его развитии и имели благодатную почву во времена великих потрясений и кризисов. Безусловно, как всякий продукт человеческого мозга, эти мысли имеют право на существование. Но подчинять им жизнь нельзя. Точно так же любой отдельно взятый человек не может существовать как нормальное биологическое существо в постоянных мыслях о своей кончине, хотя она и является неизбежной. Человек живет надеждой...
Насыщенная яркими событиями, временами – трагическая трехтысячелетняя история математики и в особенности ее бурная эволюция в ХХ столетии если не вселяют уверенность, то, по крайней мере, дают нам надежду на успешное продолжение развития как самой математики, так и других фундаментальных наук... 
В.Д.Ногин,
профессор факультета ПМ-ПУ
|
